Nociones previas:
1. La unión de los racionales y los irracionales forma el conjunto de los números reales. R = Q U I .
2. El conjunto de los reales, con el orden inducido en N, Z y Q son conjuntos totalmente ordenado.
3. Teniendo eso en cuenta, se puede representar gráficamente el conjunto de los reales con una recta numérica, en la que cada punto representa un número.
4. Muchas de las propiedades que hemos visto para los conjuntos Q è I son heredadas por R.
5. Podemos considerar R como el conjunto de todos los límites de sucesiones cuyos términos son números racionales.
6. A diferencia de N, Z y Q, el conjunto de los reales no es numerable
DENSIDAD DE LOS NUMEROS REALES O ARQUIMEDIANA
Dado dos números reales diferentes x è y, su promedio (x+y)/2 está comprendido entre x è y. Por lo tanto, entre dos números reales sin importar lo cercano que se encuentren, hay una infinidad de números reales. De donde afirmamos:
1. Entre dos números reales diferentes hay un número racional, y por lo tanto hay infinitos números racionales entre ellos.
2. Entre dos números reales diferentes hay un número irracional, y por lo tanto hay infinitos números irracionales entre ellos.
De; 1 y 2 se describen en lenguaje matemático diciendo, respectivamente, que el conjunto de los números racionales es denso en el conjunto de los números reales y que el conjunto de los números irracionales es denso en el conjunto de los números reales.
Ejemplo Construyamos dos números racionales y dos números irracionales entre
X= 1,24 ; y = 1,2401 . Usando expresiones decimales periódicas tenemos que:
a = 1,24005 y b = 1,24003. son dos números racionales entre x e y.
Usando expresiones decimales no periódicas,( números irracionales ) tenemos que: t = 1,24002000200002… y u = 1,2400201001000100001…. son dos números irracionales entre x e y .
COMPLETITUD DE IR
La propiedad de completitud de IR dice que los números reales “rellenan la recta numérica”', o que no “dejan huecos en la recta”. Es decir, a cada punto de la recta le corresponde un número real. Pero ¿qué significa esto matemáticamente?. En otras palabras, cómo escribir esto con el lenguaje propio de la teoría de números reales, sin hacer alusión a la interpretación geométrica de éstos como puntos de una recta.
Para tratar de precisar esto, tomemos un punto P en la recta, y consideremos el conjunto A formado por todos los números reales “ubicados” a la izquierda de ese punto. Consideremos también el conjunto B formado por todos los números reales “ubicados” a la derecha del mismo punto. Tenemos entonces que para x ε A y y ε B se cumple x ≤ y. La completitud dice que hay un número real a que corresponde al punto P, y por lo tanto x ≤ a ≤y, para todo x ε A y todo y ε B.
AXIOMA DE COMPLETITUD: Si; A y B son subconjuntos no vacíos de IR, tales que x ≤y para
todo x ε A y todo y ε B. Entonces, existe al menos un número real a tal que: x ≤ a ≤ y, para todo x ε A y todo y ε B.
Ejemplo Si A = {x ε IQ+ / x2 < b ="{"> 2 }, entonces a = √2 = es el único número real que satisface la condición del axioma de completitud.
Atte.
Edgar Zavaleta Portillo I.E. Humberto Luna - Ugel Cusco -Asesoría de Matemática
1. La unión de los racionales y los irracionales forma el conjunto de los números reales. R = Q U I .
2. El conjunto de los reales, con el orden inducido en N, Z y Q son conjuntos totalmente ordenado.
3. Teniendo eso en cuenta, se puede representar gráficamente el conjunto de los reales con una recta numérica, en la que cada punto representa un número.
4. Muchas de las propiedades que hemos visto para los conjuntos Q è I son heredadas por R.
5. Podemos considerar R como el conjunto de todos los límites de sucesiones cuyos términos son números racionales.
6. A diferencia de N, Z y Q, el conjunto de los reales no es numerable
DENSIDAD DE LOS NUMEROS REALES O ARQUIMEDIANA
Dado dos números reales diferentes x è y, su promedio (x+y)/2 está comprendido entre x è y. Por lo tanto, entre dos números reales sin importar lo cercano que se encuentren, hay una infinidad de números reales. De donde afirmamos:
1. Entre dos números reales diferentes hay un número racional, y por lo tanto hay infinitos números racionales entre ellos.
2. Entre dos números reales diferentes hay un número irracional, y por lo tanto hay infinitos números irracionales entre ellos.
De; 1 y 2 se describen en lenguaje matemático diciendo, respectivamente, que el conjunto de los números racionales es denso en el conjunto de los números reales y que el conjunto de los números irracionales es denso en el conjunto de los números reales.
Ejemplo Construyamos dos números racionales y dos números irracionales entre
X= 1,24 ; y = 1,2401 . Usando expresiones decimales periódicas tenemos que:
a = 1,24005 y b = 1,24003. son dos números racionales entre x e y.
Usando expresiones decimales no periódicas,( números irracionales ) tenemos que: t = 1,24002000200002… y u = 1,2400201001000100001…. son dos números irracionales entre x e y .
COMPLETITUD DE IR
La propiedad de completitud de IR dice que los números reales “rellenan la recta numérica”', o que no “dejan huecos en la recta”. Es decir, a cada punto de la recta le corresponde un número real. Pero ¿qué significa esto matemáticamente?. En otras palabras, cómo escribir esto con el lenguaje propio de la teoría de números reales, sin hacer alusión a la interpretación geométrica de éstos como puntos de una recta.
Para tratar de precisar esto, tomemos un punto P en la recta, y consideremos el conjunto A formado por todos los números reales “ubicados” a la izquierda de ese punto. Consideremos también el conjunto B formado por todos los números reales “ubicados” a la derecha del mismo punto. Tenemos entonces que para x ε A y y ε B se cumple x ≤ y. La completitud dice que hay un número real a que corresponde al punto P, y por lo tanto x ≤ a ≤y, para todo x ε A y todo y ε B.
AXIOMA DE COMPLETITUD: Si; A y B son subconjuntos no vacíos de IR, tales que x ≤y para
todo x ε A y todo y ε B. Entonces, existe al menos un número real a tal que: x ≤ a ≤ y, para todo x ε A y todo y ε B.
Ejemplo Si A = {x ε IQ+ / x2 < b ="{"> 2 }, entonces a = √2 = es el único número real que satisface la condición del axioma de completitud.
Atte.
Edgar Zavaleta Portillo I.E. Humberto Luna - Ugel Cusco -Asesoría de Matemática
