BIENVENIDOS AL "AULA VIRTUAL DE MATEMATICA_HL" de la I.E. Humberto Luna - Ugel Cusco de Edgar Zavaleta Portillo - MATEMATICA_EDKEN

lunes, 27 de agosto de 2012

TRIANGULOS SEMEJANTES_EDKEN

EL CONCEPTO DE SEMEJANZA EN LA VIDA COTIDIANA
En la vida cotidiana al mencionar el término de semejanza, nos preguntamos si estamos haciendo referencia a:

· ¿Objetos que se parecen?
· ¿Objetos de igual tamaño?
· ¿Objetos de igual forma?
· ¿Objetos exactamente iguales?.

Es dificil poder seleccionar una opción que responda correctamente a la pregunta planteada, ya que de acuerdo al contexto de la conversación, el significado y utilización de la palabra semejanza, podría hacer referencia a objetos que se parecen en tamaño, forma o exactamente iguales.

Por ejemplo:
1. El color del libro de Ken es semejante al color del libro de Eda.
2. La pelota de tenis es semejante a la de fútbol.
3. La estatura de Ana es semejante a la de Beto.
4- Los gemelos Quispe son tan semejantes que no es fácil diferenciarlos.
5. La llave que usa el Portero, para abrir la puerta del aula, es semejante a la del auxiliar.
Notamos; que en los ejemplos mencionados, el significado de semejanza hace referencia a una característica común entre los objetos o personas, tales como: color, tamaño o forma. Por lo que el uso del concepto de semejanza en el lenguaje cotidiano se refiera al "parecido", en una o más características, que existe entre dos personas u objetos.
EL CONCEPTO DE SEMEJANZA EN MATEMÁTICA
El concepto de semejanza en matemática está muy ligado al concepto de proporcionalidad. Dos objetos son semejantes si "guardan" una proporción entre ellos. Veamos algunos ejemplos de la relación existente entre semejanza y proporcionalidad.
1. Un topógrafo desea determinar la distancia entre dos ciudades, para ello utiliza un mapa. Se percata que la escala utilizada en el mapa es de 1:5000 es decir, un centímetro en el mapa representa 5000 metros en la realidad.
2. La construcción de maquetas a escala sean: edificios, aviones, barcos entre otros; requiere de una buena aplicación de los conceptos de semejanza y proporcionalidad, es decir el tamaño de cada una de sus partes debe estar acorde con el tamaño que el objeto tiene en la realidad.
3. Dos fotografías de la misma persona, una de tamaño 10x15 cm. que luego es ampliada a 40x60 cm. Ambas son semejantes y tienen una misma proporción, ya que una es la ampliación de la otra tanto a lo ancho como a lo largo y con una misma razón, es decir: las divisiones de sus lados correspondientes son de igual valor.
Resumiendo: dos figuras son semejantes si guardan una proporción entre cada una de sus partes respectivas.
FIGURAS SEMEJANTES
Dos figuras son SEMEJANTES si:
1. Todos sus ángulos son congruentes o iguales
2. Sus lados son Proporcionales
Ejemplos de la figura adjunta:

· Todos los triángulos son semejantes entre si
· Todos los cuadrados son semejantes
· Todos los hexágonos regulares son semejante

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.- DEFINICIÓNSe podría afirmar, con lo que ya se conoce, que dos triángulos son semejantes si poseen una misma forma y sus partes guardan una proporción. Es decir:
Dos triángulos son semejantes si los ángulos interiores homólogos son congruentes y sus lados homólogos proporcionales.
Notación:
Cuando se dice que el triángulo ABC es semejante ( ~ ) con el triángulo A’B’C’, se escribe: Triángulo ABC ~ Triángulo A’B’C’; de acuerdo a los siguientes criterios:
1.- ANGULOS INTERIORES HOMOLOGOS CONGRUENTES2.- LADOS HOMOLOGOS PROPORCIONALES

Ahora bien, sería muy tedioso estar verificando para cada par de triángulos estas dos condiciones. Para comprobar si dos triángulos son semejantes existen criterios de semejanza, los cuales ayudan a determinar la semejanza o no de dos triángulos.
Criterios de semejanzaCriterio1: Dos triángulos son semejantes cuando sus ángulos son CONGRUENTES (A-A).
Criterio 2: Dos triángulos son semejantes cuando sus lados son proporcionales (L-L-L).
Criterio 3: Dos triángulos son semejantes cuando dos lados son proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es CONGRUENTE (L-A-L).


EJERCICIO RESUELTODado el triángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 cms respectivamente, se desea ampliar a escala 3:1.


EJERCICIOS DE APLICACIÓN PROPUESTOS1. En un mapa la escala es 1:50 000. Si en ese mapa la distancia entre 2 ciudades es de 4 cm. ¿Cuál es la distancia real entre esas dos ciudades?
• a) 2 km
• b) 20 km
• c) 200 km
2. Los siguientes triángulos son semejantes, de acuerdo al criterio de:
3. Si, 2 triángulos tiene los lados proporcionales, entonces los triángulos son:
• a) iguales
• b) semejantes
• c) proporcionales
4. Los siguientes triángulos son semejantes, de acuerdo al criterio de:
5. La razón de semejanza de los triángulos se calcula mediante:
• a) restándole la misma cantidad a sus lados
• b) sumándole la misma cantidad a sus lados
• c) dividiendo los perímetros
6. Los siguientes triángulos son semejantes, de acuerdo al criterio de:
Atte.: Edgar Zavaleta Portillo-I.E. Humberto Luna_Asesoría de Matemática

martes, 10 de julio de 2012

TEOREMA DE PITAGORAS.- APLICACIONES

TEOREMA DE PITAGORAS
Sin duda el Teorema de Pitágoras no es solo el más conocido sino que también es el más usado desde el punto de vista de su aplicación de análisis geométrico en diferentes áreas del conocimiento, de acuerdo a su contenido teórico y practico como herramienta para calcular: ángulos, áreas, distancias o alturas y entre otros fenómenos físicos.
Pitágoras, filosofo y matemático griego descubrió una interesante relación entre los lados de
l triangulo rectángulo, llegando a comprobar que: el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa del triangulo rectángulo; es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.
Teorema de Pitágoras.- DefiniciónDado un triángulo recto (es decir, un triángulo donde alguno de sus ángulos es de 90º), donde a y b son las medidas de los catetos (lados contiguos al vértice de 90º), y c es la medida de la hipotenusa (lado opuesto al vértice de 90º). Entonces se verifica que:


De acuerdo a las relaciones de las ecuaciones del Teorema de Pitágoras, tenemos el siguiente resumen:


DEMOSTRACION DEL TEOREMA DE PITAGORAS:
Aquí expongo una de las demostraciones más sencillas y fáciles de entender que existen sobre este teorema. Además es una demostración fácilmente realizable recortando y colocando las figuras de los dos cuadrados adecuadamente, y así hacer que los alumnos observen la veracidad de esta propiedad.
EN LA FIGURA 1:
1. La figura interior es un cuadrado de lado a, luego su área es: a²
2. Dibujamos en las cuatro esquinas de la figura 1, cuatro triángulos rectángulos iguales de lados: a (hipotenusa), b y c (catetos)
EN LA FIGURA 2:
3. Hemos trasladado los cuatro triángulos rectángulos de la figura 1, según los colores amarillo y rojo
4. Las figuras no ocupadas por estos cuatros triángulos, son dos cuadrados de áreas: b² y c²

CONCLUSION:
1. Las cuatro áreas de los triángulos rectángulos son iguales.
2. El área del cuadrado a2 es igual a los otros dos cuadrados de áreas: b² y c².


APLICACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS EN LA ALTURA DEL CRISTO BLANCO DE LA CIUDAD IMPERIAL DEL CUZCO.Está hermosa estatua de Cristo Blanco del cerro Pukamoqo (cerro Rojo), se levanta en pleno Sacsayhuaman; donada por la colonia árabe-palestina, ubicado en el mirador del Cusco, desde donde se tiene una espectacular vista de la ciudad; desde lo alto se ve claramente los principales atractivos de la ciudad como la plaza de armas, la catedral, las principales iglesias y calles principales.APORTE MATEMÁTICO.- Al aplicar el Teorema de Pitágoras: (hipotenusa)²= (cateto1)² + (cateto2)²; que se cumple en todo triángulo Rectángulo.
Podemos calcular realmente la altura del Cristo Blanco, tal como se aprecia en la figura:

Según datos que se consideran, aplicando el Teorema de Pitágoras:(17) ² = (15) ² + (altura) ² ; 289 = 225 + h² ; 289 – 225 = h² ; 64 = h² . Finalmete la altura de Cristo Blanco: h= 8 mPor lo tanto: La altura aproximada del Cristo Blanco es de 8 metros.
Dato Adicional: Este cerro Pukamoqo, tiene su propia historia; se dice que en la época inca fue un lugar sagrado, pues esta colina guarda en su suelo todas las tierras del Imperio Inca, o sea hay
tierras traídas desde Colombia, Ecuador, Chile, Bolivia y Argentina. En el Perú desde el norte como Lambayeque, Sipán, Chanchán, Cajamarca, Huaraz, Chavín, Moche; de Pachacamac, Nazca, Paracas, por el sur las culturas de Wari, Tiahuanaco. Se explica que cuando los Incas hacían sus conquistas de otros territorios, volvían al Cusco trayendo consigo al jefe o cacique conquistado con todos sus principales allegados o familiares; estos venían cargando en costales su tierra, la cual era depositada en este cerro que hoy se ve medio rojizo; esto se supone que halagaba al conquistado y lo comprometía a ser parte de la nobleza del imperio Inca.PROBLEMAS PROPUESTOS1. Calcular el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 6 cm y 8 cm respectivamente.
2. Calcular el perímetro de un terreno rectangular, cuya diagonal mide 13 m y uno de sus lados menores mide 5 m.
3. Una escalera de 5 m esta apoyada sobre una pared, la distancia desde el pie de la pared a la de la escalera es de 3m. Calcular la altura de la pared.
4. Una persona que parte del punto A, camina 70m hacia el sur hasta llegar al punto B- Luego, camina 30 m hacia el este llegando al punto C. Finalmente, camina 110 m hacia el norte y llega al punto D. ¿Cuántos metros se hubiera ahorrado si hubiese caminado en línea recta de A hacia D?
Autor: Edgar Zavaleta Portillo Docente de I.E. HUMBERTO LUNA - CUSCO_Asesoría de Matemática

LA APLICACION DEL TEOREMA DE PITAGORAS EN CRISTO BLANCO, con datos historicos lo puedes ver en la siguiente DIAPOSITIVA.